Colebrook–White——每条曲线背后的方程
达西摩阻系数是隐式的——λ 出现在等号两侧——因此图上每一个点都由对 \(x = 1/\sqrt{\lambda}\) 的不动点迭代 求得：代入右端、取倒数、平方、重复，直到数值不再变化（本页收敛到 1e-13，通常 3–6 次迭代）。 对数内的两项就是物理本身：2.51/(Re√λ) 是黏性贡献，(k/d)/3.7 是粗糙度贡献。 谁占主导，谁就决定规律。
图上的三族曲线
Re ≈ 2300 以下黏性决定流动形态，λ 只取决于 Re。光滑线上黏性项处处占优；Blasius（虚线）仅在 Re ≈ 1e5 以内与它吻合，因此实线光滑曲线继续采用完整 Colebrook 形式——在 Re = 1e8 处 Blasius 给出 λ ≈ 0.0032，而真实光滑管值为 ≈ 0.0059，相差近一倍。六条粗糙度曲线是同一 Colebrook 方程在 k/d = 1e-5、1e-4、1e-3、5e-3、1e-2、5e-2 的取值；每条曲线随 Re 增大逐渐脱离光滑曲线，并最终 水平化趋于竖直渐近线。
状态判据——读数卡背后的数字
| 判据 | 范围 | 判定 | 含义 |
|---|---|---|---|
| Re | < 2300 | 🟢 层流 | λ = 64/Re 精确成立；粗糙度不起作用， 黏性主导整个边界层。 |
| Re | 2300 – 4000 | 🟡 临界区 | 流态在层流/湍流间跳变；λ 客观上不确定 （图中过渡为示意）。避免在该区间长期稳定运行。 |
| Re·k/d | < 65 | 🟢 水力光滑 | 粗糙峰埋藏于黏性底层之内；Colebrook 中 k/d 项可忽略，λ 遵循光滑管规律。 |
| Re·k/d | 65 – 1300 | 🟡 过渡区 | 两项同时起作用：λ 随 Re 下降、随 k/d 上升—— 正是 Moody 图的主体区域。 |
| Re·k/d | > 1300 | 🟡 完全粗糙 | 黏性底层被破坏；λ = 1/[2·lg(3.7·d/k)]² 与 Re 无关——曲线族拉平为竖直线。 |
符号表
| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| λ | 达西摩阻系数 | 无量纲 |
| Re | 雷诺数，Re = ρVD/μ | 无量纲 |
| k/d | 相对粗糙度（当量砂粒粗糙度 / 内径） | 无量纲 |
| k | 绝对粗糙度 | mm / in |
| D | 管道内径 | mm / in |
数值锚点（自检）
Re = 1e5、k/d = 0.001：Colebrook 不动点迭代三次收敛到 \(1/\sqrt{\lambda} \approx 6.716\)， 即 λ ≈ 0.0222——标记恰好落在 k/d = 1e-3 曲线上。再给两个可目视验证的检查点：Re = 2000 时点位于 层流线上（λ = 64/2000 = 0.032，与 k/d 无关）；Re = 1e6、k/d = 0.05 时乘积 Re·k/d = 50,000 ≫ 1300， 点位于完全粗糙水平渐近线 λ = 1/[2·lg(3.7/0.05)]² ≈ 0.0716 上。
工程判据
- 层流界限——2300；2300–4000 临界带加阴影，其 λ 标注为示意过渡，不是解出的数值。
- 光滑/粗糙划分——Re·k/d = 65 与 1300 决定 Colebrook 中哪一项占主导；读数卡按实时乘积复述判据。
- 曲线生成——每条粗糙度曲线均在 log-Re 上逐点求 Colebrook（无预先制表数据）， 标记与曲线永远自洽。